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不定方程组——百钱买百鸡

2018-07-06 18:31  来源: 新华网

百鸡问题是一个数学问题,出自中国古代约5—6世纪成书的《张邱健算经》,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题。题今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、鸡雏各几何?答曰:鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡雏七十八,值钱二十六。又答:鸡翁八,值钱四十;鸡母十一,值钱三十三,鸡雏八十一,值钱二十七。又答:鸡翁十二,值钱六十;鸡母四、值钱十二;鸡雏八十四,值钱二十八。

原书没有给出解法,中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法,只有约6世纪的谢察微记述过一种不算正确的解法。到了清代,研究百鸡术的人渐多,1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题的表达形式也越来越多,如百僧吃百馒,百钱买百禽等。

实际上,《算经》中提出的数学问题简言之就是我们现代数学所说的百钱买百鸡问题,一只公鸡值钱5,一只母鸡值钱3,三只小鸡值钱1,100块钱怎么才能买到100只鸡,并且买到的小鸡,母鸡,公鸡各是多少呢?从现代数学观点来看,是一个求不定方程组的题目。

假设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只,由题意得:

①……x+y+z =100

②……5x+3y+(1/3)z =100

有两个方程,三个未知量,称为不定方程组,有多种解。

令②×3-①得:7x+4y=100;

所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, (t为整数)所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到:y=25-7t

易得z=75+3t

所以:x=4t

y=25-7t

z=75+3t

因为x,y,z为正整数

所以4t大于0

25-7t大于0

75+3t大于0

解得t大于0小于等于25/7又因为t为整数

所以t=1时

x =4;y =18;z =78

当t=2时

x =8;y =11;z =81

当t=3时

x =12;y =4;z =84

因为x、y、z都必须小于100且都是正整数,所以只有以上三组解符合题意: ①买公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只; ②或买公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只; ③或买公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;

如果不要求都是正整数的话,当t=0时,,那么x=0,所以y=25,z=75 。

由上面运算得知,不要求公鸡、母鸡、小鸡都买的话,总共有四种方案可以满足百钱买百鸡;如果要求公鸡、母鸡、小鸡都需要购买的话,那么就有三种买鸡的方案可以满足百钱买百鸡。

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作者: 马静静   [责任编辑: 李浩]