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钢琴键盘与同余理论

2018-08-07 08:52  来源: 新华网

钢琴被称为现代乐器之王,是一种依靠琴槌击打琴弦发音的击奏弦鸣键盘乐器。最早的钢琴诞生在1710年左右,经过近三个世纪的不断改良和发展,如今钢琴已成为乐器大家族中引人注目的角色之一。

现代钢琴分为三角钢琴和立式钢琴两大类。它们的键盘从5个八度(61键)到8个八度(96键)不等,最常见的有7组88键或7组85键的钢琴。钢琴是管弦乐队中音域最为宽广的乐器,通常音乐中的有效音高在钢琴上都可以找到。而且在钢琴键盘上,我们可以非常直观地看到乐音体系中所使用的音和音列。

钢琴为平均律乐器。它应用了十二平均律,即钢琴上的每一个八度被均分为12个半音,其中包括7个基本音级(白键)和变化音级(黑键)。7个基本音级即我们所熟悉的do,re,mi,fa,sol,la,si,用英文字表示为C,D,E,F,G,A,B。将基本音级升高或降低得到变化音级。“#”表示将基本音级升高半音,称“升号”;“b”表示将基本音级降低半音,称降号;“x”表示将基本音级升高全音(即连续升高两个半音),称重升号;“bb”表示将基本音级降低全音(即连续降低两个半音)称重降号。例如,#C或bD,即为紧邻C上方(在钢琴上为右方)也即紧邻D下方(在钢琴上为左方)的黑键。

神奇的是,这样看似简单的琴键关系中,包含着一套数学密码。相邻的两个琴键(包括黑键)都构成半音,相距12个半音的两个音所产生的声波振动频率存在2倍关系。人耳识别到这两个音具有关联性,并由此定义它们互为八度音。运用到数学中,我们称键位y比x高k个八度音,则可列出:

y-x=12k,k=1,2,3.......

上述x和y两数间联系称为同余。

如果两个整数的差y-x能被一个正整数m整除,则称y与x同余, 模为m,记为Y≡x(mod m)。整数m称为模,例如:

39≡4(mod 5),即:39-4=35,35能被5整除。

y≡x(mod m)的通俗说法便是y与x相差m的整数倍,即y=x+km。对某个整数k,给定任一整数m,与x同余的全体整数构成的集合称为x的剩余类(同余类),表示为[x]m。通常,剩余类中的最小非负整数用来表示该剩余类,并称这样的剩余类为最小剩余。如果x是一个剩余类中的特定元,则余下元都可由x加上m的整数倍生成。给定任何一个类,容易看出最小剩余就是特定元整除模后的余数。例如,[748]5=[3]5,因为3是748整除5后的余数。

同余类的加法运算定义为:[a]m+[b]m=[a+b]m

钢琴键盘上音是循环重复的,我们知道一个八度后接另一个八度,而其中音符的音名也是C,D,E,F,G,A,B几个字母的依序重复排列。为什么C在间隔12个半音后还能得到C呢?从同余理论考虑,每一个字母都是该键位的模为12的同余类的命名,这12个类中的每一个都可自成一个调。因此我们将白键上的音初始定义如下:

在乐理中,C升高半音,既可称为升C,又可以称为降D,即音高相同而意义和记法不同的音,我们称之为等音。他们用相同的数字定义。由此我们可以得出钢琴键盘上所有键位,通过最小剩余计算而得出相对应的音名,循环往复的音名。

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作者: 江婳婳   [责任编辑: 李浩]

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