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数学常数e

2019-09-18 09:46  来源: 新华网

自然常数e和圆周率π、黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”。e作为重要数学常数之一,常出现于数学和物理学之中。

 

 

相传常数e的发现与当时欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利在半个世纪前提出的复利问题有关:假设你在银行里存了一笔钱,银行每年以100%的利率兑换这笔钱,一年后,你会得到(1+100%)1=2倍的收益。现在假设银行每六个月结算一次利息,但只能提供利率的一半,即50%,在这种情况下,一年后的收益为(1+50%)2=2.25倍。而假设银行每月提供8.3%(100%的十二分之一)复利息,或每周1.9%(100%的五十二分之一)复利息。在这种情况下,一年后你会赚取投资的(1+十二分之一)12=2.61倍和(1+五十二分之一)52=2.69倍。根据这个规律,可以得到一条通式:假设n为利息复利的次数,那么利率就是其倒数,一年后的收益公式为(1+n分之一)n。那么,如果n变得无限大,那(1+n分之一)n是否也会变得无限大?这就是伯努利试图回答的问题,但直到50年后才由欧拉最终获得结果:当n趋于无穷大时,(1+n分之一)n并非也变得无穷大,而是等于2.718281828459……事实上e就是通过这个极限而发现的。1727年,欧拉首次用小写字母“e”表示这个常数,此后遂成标准,被称为自然常数。

关于常数e 的定义有很多,最常见的有两种:

(1)定义e为一个数列的极限值;

(2)定义e为下列无穷级数之和e:。注意,0!=1。

e被称为自然常数,在实际的应用中,常称e是单位时间内,持续翻倍增长所能达到的极限值,这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。令人惊讶的是,以e为底的指数函数ex在微分之后公式是不变的,即ex在微分之后得到的还是ex,而积分是微分的逆计算,所以,ex积分之后得到的函数还是ex。这个世上有很多现象都可以用微分方程式来表示,通俗地说,在探究自然界的某些现象时,我们一般会将各种函数微分或积分,然后设立微分方程式并求解。而在这些计算过程中,别的函数经过微分与积分,式子都会发生改变,只有ex不管怎么微分,式子都会保持同样的形式,不会发生改变。这也是为什么在探究自然界的诸多问题时,大量的解和方程式中都有e的身影的原因。

除微积分的发展离不开e,经济学中的复利率也出现了e的身影,就连自然界中的鹦鹉螺、羊触角、向日葵种子,甚至浩瀚宇宙中的螺旋星云,都发现了与e有紧密联系的等角螺线。常数e与数学和物理现象都存在着紧密的联系,了解e的特性更有助于我们的学习。

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作者: 郑玉婷   [责任编辑: 李浩]